QL.túra miazmás

Gondolat, 1985
antikvarium.hu

Ez a jó a matematikában! A könyvet eredetileg 1973-ban adták ki (Исай Львович Кантор, Александр Самуилович Солодовников: Гиперкомплексные числа, Издател[ь]ство "наука", Москва, 1973) mégsem veszített a frissességéből. No jó, egy helyen a lektor egy rövidebb bizonyítást bigyeszetett egy lábjegyzetbe, de az eredeti legalább érthetőbb volt.

Nagyon jó kis olvasmányos könyv és a középiskolás matek tudásnál nem igényel többet, csak egy kis odafigyelést és érdeklődést. Szép számmal akadnak benne tételek, bizonyítások.

Az első fejezetekben kicsit sokat szöszmötöl a komplex számokkal, de legalább a bemelegítő köröket megfuthatjuk e közben. A huszadik oldal környékén elérünk az alternatív komplex számokhoz. A XVI. században kezdődött az egész a másodfokú egyenletekkel. Girolamo Cardano és Raffaello Bombelli olasz matematikusok bevezették az a + b*gyök(-1) jelölést. A XVIII. században Leonhard Euler jelölte a gyök(-1)-et i-vel.

Mivel az i²=-1 jelölés csak egy szimbólum, ezért miért ne lehetne i²=a+bi alakú. Bizonyítja, hogy bármely ilyen rendszer három rendszerre vezethető vissza: i²= -1 (komplex számok), i²= 1 (hiperbolikus komplex számok), i²= 0 (Study-féle számok). Persze innen tovább lehet lépni egy újabb szimbólum bevezetésével: z = a + bi + cj. Az összeadás és valós számmal való szorzás a szokásos tulajdonságú, a szorzás pedig disztributív jobb és bal oldalról is. Kommutativitást, asszociativitást nem feltétlenül követelünk meg. A szorzást egy szorzótáblával lehet definiálni i²=a_ii + b_iii +c_iij, j²=a_jj + b_jji +c_jjj, ij=a_ij + b_iji +c_ijj, ji=a_ji + b_jii +c_jij. Ez nem vezet túl érdekes számrendszerre. De ha egy szimbólumot hozzáadunk, akkor eljutunk a kvaterniókhoz: z = a + bi + cj + dk. A szorzási szabály: i²= j²= k²= -1, ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j. Ebben a rendszerben ismét elvégezhető az osztás (ha z != 0). A kvaternió algebra nem kommutatív. Ez a rendszer elvezet minket a vektoralgebrához (skalár szorzat, vektoriális szorzat). No, ezzel elvan egy darabig.

Ez után képzi a Cayley-számokat, ahol már 7 elem alkotja a képzetes részt. A szorzótábla közlésétől most eltekintenék. A Cayley-számok már nem is asszociatívak. Helyette egy "alternatív"nak nevezett tulajdonságuk van (uv)v = u(vv) és v(vu) = (vv)u. Ebben a rendszerben is elvégezhető az osztás.

Az 58. oldalon tovább általánosít és bevezeti az algebrák halmazát. Egy algebrát a dimenziója és a szorzótáblája definiál. Legyen a = a₁i₁ + a₂i₂ + ... + a_ni_n és minden j, k, = {1, 2, ..., n}-re i_ji_k = p_jk,1i₁ + p_jk,2i₂ + ... + p_jk,ni_n szorzótábla. Ha egy algebrában létezik egység elem a, melyre igaz, hogy i₁i_j = i_ji₁ = i_j, akkor ezt az algebrát hiperkomplex rendszernek nevezzük.

A 71. oldaltól játszik egy kicsit az algebrákkal. Asszociatív, alternatív algebrákat vizsgál. Majd bevezeti a lineáris algebrákat, amelyben még a két szám szorzata sem feltétlenül van definiálva.

A 108. oldaltól a könyv végéig 4 kitüntetett algebrával (valós számok, komplex számok, hiperkomplex számok és Cayley-számok algebrája) kapcsolatos tételeket fogalmaz meg és bizonyít (Hurwitz-tétel, Forbenius-tétel).

Nekem kicsit furcsa, hogy a koordináta geometriai kitérőnél balsodrású koordináta rendszert használt. Ez most a kommunizmus lehelete, vagy mi a szösz? Sajnos nagyobb hibája a magyar kiadásnak, hogy kicsit sok benne a szedési hiba. Tipográfiai, helyesírásbeli egyaránt.

Legyünk komplexek minden nap!